Der Namensgeber der Bezierkurven ist Pierre Bézier. Paul de Casteljau hat praktisch zeitgleich Anfang der 1960er Jahre die Bezierkurve entwickelt, hielt sich aber mit einer Veröffentlichung zurück. Bezierkurven wurden ursprünglich für das computerunterstützte Design von Autokarosserien entwickelt. Mit Bezierkurven ist es möglich, sehr einfach Rundungen exakt zu beschreiben. Für weitere geschichtliche Informationen und den mathematischen Hintergrund empfehle ich einen Blick auf den Wikipedia-Artikel zu Bezierkurven zu werfen.
Bezierkurven werden heutzutage in vielen Bereichen der Computergrafik eingesetzt. Beim CAD, beim 3D-Design, in pixelorientierten Grafikprogrammen wie Adobe Photoshop, Paintshop Pro oder auch The Gimp. Zusätzlich gibt es eine ganze Reihe von Grafikprogrammen, die direkt auf Bezierkurven basieren. Aber auch bei der Darstellung von Schrift werden heutzutage hauptsächlich Schrifttypen verwendet die auf Bezierkurven basieren.
Bei Grafikprogrammen, die direkt mit Bezierkurven arbeiten spricht man auch von Vektorgrafikprogrammen, seltener auch objektorientierte Grafikprogramme. Bei der Vektorgrafik geht es im Prinzip darum, komplexe Grafiken durch einige wenige Kontrollpunkte zu beschreiben. Dabei werden die Kontrollpunkte zu Gruppen zusammengefasst, die Objekte. Ein Kreis z.B. läßt sich durch 2 Kontrollpunkte beschreiben: dem Mittelpunkt und dem Radius. Eine Linie läßt sich ebenfalls durch 2 Punkte beschreiben: dem Startpunkt und dem Endpunkt. Ein Dreieck kann man aus 3 Linien aufbauen, wobei der Endpunkt der einen Linien die gleiche Position hat wie der Startpunkt der nächsten Linie. Durch die Objektorientierung wird das Dreieck nun als 1 Objekt angesehen, genauso wie 1 Kreis oder 1 Linie. Im Prinzip läßt sich jede geometrische Grundform durch ein paar Kontrollpunkte beschreiben. Aber wie beschreibt man eine Kurve, einen Bogen? Und da kommt jetzt die Bezierkurve ins Spiel. Eine Bezierkurve wird durch 4 Kontrollpunkte beschrieben
Auf der linken Seite sieht man die jeweilige Kurve im Bearbeitungszustand mit den Kontrollpunkten, und auf der rechten Seite die resultierende Kurve. Die Kontrollpunkte werden dabei in 2 Gruppen unterteilt. Ankerpunkte und Griffpunkte. In der Grafik sind die Quadrate die Ankerpunkte und die Kreise die Griffpunkte. Die blauen Linien sind Hilfslinien und werden Grifflinien genannt. Jeder Ankerpunkt hat einen zugehörigen Griffpunkt. Dieser Griffpunkt gibt nun einmal an, unter welchem Winkel die Kurve den zugehörigen Ankerpunkt verläßt bzw. auf ihn trifft. Zum anderen gibt die Entfernung des Griffpunktes zu seinem Ankerpunkt an, wie lange die Kurve diesen Winkel grob beibehält. Grob deshalb, da endgültige Form der Kurve abhängig ist von allen 4 Kontrollpunkten. Verschiebt man nur einen Punkt, so ändert sich die Form der kompletten Kurve. Bei den Kurven in der Grafik wurde der linke Ankerpunkte und der dazugehörige Griffpunkt nicht verändert.
Die Auflösungsunabhängigkeit ist eines der wichtigsten Eigenschaften. Eine Grafik auf dem Computerbildschirm und auf dem Drucker besteht aus einzelnen Punkten. Die Grafik ist also praktisch ein Mosaik. In einem pixelbasierten Grafikprogramm wie Photoshop oder The Gimp definiert man also, welche Farbe jeder Stein des Mosaiks haben soll. Der Computer sieht auch nur diese Mosaiksteine. Was sie darstellen bleibt ihm verwehrt. Wenn man einen Kreis malt, so ist dies für den Computer nur ein Ansammlung von verschieden farbigen Mosaiksteinen.
Ein Praxisbeispiel macht dies deutlich. Du benötigst dazu folgende Dinge:
Zeichne mit dem Zirkel einen Kreis in der Mitte des Blattes mit einem Radius von 5 cm. Mit dem Filzstift malst du jetzt jedes Quadrat aus, welches von der Kreisbahn geschnitten wird. Genauso macht es auch ein Computer. Die Quadrate auf dem Papier sind die Pixel. Danach versuche nun, den entstandenen Kreis auf einen Radius von 10 cm zu vergrößern. Beachte, gehe genauso vor wie ein Computer. Ein Computer hat für diese Operation nur das Blatt Papier mit den weißen und schwarzen Quadraten zur Vergügung. Keinen Zirkel, und auch nicht das Wissen, daß es sich bei der Figur um einen Kreis handelt. Du wirst feststellen, daß es sehr schwierig ist, aus dem gegebenen einen ordentlichen Kreis mit 20 cm Durchmesser zu erzeugen. Viel einfacher ist es, einfach den Zirkel zur Hand zu nehmen und erneut einen Kreis mit einem Radius von 10 cm zu zeichen und dann einfach mit dem Filzstift alle Quadrate auszumalen, die geschnitten werden. Genau das macht ein Vektorgrafikprogramm. Es weiß, wie es einen Kreis zu malen hat. Ob er nun einen Radius von 5 cm oder von 10 cm hat ist egal. Wenn sich der Radius ändert, zeichnet der Computer ihn einfach neu.
Ein weiterer Punkt ist die Objektorientiertheit. In einem pixelbasierten Programm kann man nur Ebenen anlegen und Auswahlen von Pixeln speichern. In einem Vektorprogramm wird tatsächlich ein Kreis als eigenständiges Objekt gespeichert. Ich kann also jederzeit diesen Kreis auswählen und ihn ändern. Dieses bietet unglaubliche Freiheiten, gerade wenn es um eine schwierige Grafik geht, bei der das endgültige Design noch nicht feststeht. Man kann sehr einfach Dinge ausprobieren und Objekte ändern und sehen, wie es wirkt.
Ein Plotter ist ein Gerät, welches die Zeichnung tatsächlich mit einem Stift auf das Papier bringt. Bei diesen Geräten ist es eine Vorraussetzung, daß die Grafik als Vektorgrafik vorliegt. Das Gerät kann dabei dann echte Rundungen und Kreise zeichnen. Ohne irgendwelche Ecken oder Kanten. Diese Geräte werden hauptsächlich bei der Ausgabe von technischen Zeichnungen verwendet, Konstruktionspläne und Stromlaufplände zum Beispiel. Die beiden einzigen Nachteile dieser Geräte ist, daß sie einmal keine Flächen füllen können. Daher benutzt man stattdessen Schraffuren. Zum anderen haben sie nur eine geringe Anzahl von Farben zur Verfügung, die nicht gemischt werden können.
Scheidplotter sind praktisch normale Plotter. Lediglich der Zeichenstift ist durch ein Messer ersetzt. Diese Geräte werden hauptsächlich benutzt, um Folien auszuschneiden. Größtenteils handelt es sich dabei um Aufkleber, aber z.B. auch bei der Herstellung von speziellen Aufdrucken auf Textilien. Mit diesen Geräten wird dabei aus einer speziellen Plusterfolie die entsprechende Applikation, wie Buchstaben und dergleichen ausgeschnitten, welche dann mittels Hitze auf das Textil aufgetragen werden und dabei aufplustern. Sieht sehr edel aus. Man ist dabei allerdings auf nur eine Farbe beschränkt.
Bei pixelorientierten Bildbearbeitungsprogramm wie Adobe Photoshop werden Vektorobjekte einfach nur als Schablonen benutzt. Man erzeugt eine Schablone, legt diese über das Bild, und füllt z.B. den Bereich mit einer Farbe. Danach kann man die Schablone löschen. Sie ist also völlig unabhängig. Bei Illustrationsprogrammen ist dies allerdings anders. Man erzeugt zwar auch im Prinzip eine Schablone, der man eine bestimmte Füllfarbe zuweist, aber diese Schablone ist direkt mit dem Ergebnis verbunden. Ändert man nun die Form der Schablone, so ändert sich auch direkt die Füllung in der Grafik. Dadurch verlieren die Schablonen ihren Charakter und werden zu echten Objekten.
Bezierkurven werden mittlerweile in vielen Programmen eingesetzt. In den meisten modernen pixelbasierten Bildbearbeitungsprogramm kann man zum Beispiel Masken über Bezierkurven erstellen. Hier beziehe ich mich jetzt auf sogenannte Illustrationsprogramme. Also Programme die darauf ausgelegt sind, auf Basis von Bezierkurven Illustrationen zu erstellen.